INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II: febrero 2011

MODELO LEP

MODELO LEP (Sin faltantes)

Lote Económico de Producción, es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de producción. Su principio es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan.

Para que este caso tenga sentido la tasa de producción, tiene que ser mayor que la tasa de demanda, ya que si no fuese así no existiría inventario en ningún momento. Además no se admiten faltantes.

La grafica que nos representa el modelo LEP es la siguiente:

En este modelo vemos involucrado el costo unitario, el costo de mantener en inventario el producto y el costo de producción.

Entonces, el costo por periodo respecto a Q, estará dado de la siguiente forma:

Según la grafica, relacionando triángulos, tenemos que:

Además, hacemos uso de la ecuación explicada en anteriores entradas:

Reemplazando las ecuaciones 2 y 3 en la 1, tenemos:

Remitiéndonos a la ecuación que ha sido expresada en los anteriores modelos N=D/Q si queremos hallar el costo total anual, multiplicamos la ecuación por la expresión N.

Si queremos hallar el valor de Q óptimo (Q*) con el que los costos Cmi y Cp se me equilibren, es necesario derivar la ecuación anterior respecto a Q, y se iguala a 0 y se despeja Q. este proceso es analógico con el hallar máximos y mínimos de una función.

Si queremos hallar N* y t*, simplemente usamos las siguientes ecuaciones reemplazando Q por Q*.

MODELO LEP (Con faltantes)

Lote económico de producción, que busca también igualar los costos de producción y los costos de mantener inventario, pero con la diferencia que aquí si podemos encontrar faltantes, cuyos costos deben tenerse en cuenta para hallar la cantidad óptima de producción.

La gráfica representativa de este modelo la podemos ver a continuación:

A partir de esta gráfica tenemos las siguientes ecuaciones:

Procedemos a reemplazar las ecuaciones 3, 7 y 8 en la ecuación 1, y obtenemos:

Ahora tomamos la ecuación 2, despejamos de esta t1 y remplazamos este en la ecuación anterior:

Hacemos el mismo procedimiento, pero despejando t4 de la ecuación 6, y lo reemplazamos en la ecuación anterior:

Multiplicando por N=D/Q, hallamos la ecuación general de costo total:

Con el fin de hallar los valores de Q* y S*, procedemos a derivar la ecuación general de costo total:

Primero hallamos la derivada de S, y despejamos la variable Q, obteniendo lo siguiente:

Ahora derivamos la ecuación general de costo total con respecto a Q, e igualamos a cero:

El valor hallado de Q anteriormente lo reemplazamos en la ecuación anterior:

Ya tenemos la ecuación de S*, la cual hace referencia a las unidades faltantes que resultan de este modelo, por último reemplazamos esta ecuación en Q, y de esta manera obtendremos la ecuación de Q*, que indica el número de unidades optimas a producir:

BIBLIOGRAFÍA

http://books.google.com.co/books?id=jVIwSsVHUfAC&pg=PA476&lpg=PA476&dq=ejercicios+de+modelo+eoq+con+faltante&source=bl&ots=FmIdbT7o4B&sig=G_kFDmd-i0Zqs-aL9NhDYsB7QpI&hl=es&ei=lhB3TbD8AcKZ0QHh1NTsBg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CEAQ6AEwBTgK#v=onepage&q&f=false

MODELO EOQ

MODELO EOQ (Sin faltante)

Este modelo de inventario presenta las siguientes características:

· La demanda es constante y conocida.

· El tiempo de entrega, esto es, el tiempo entre la colocación de la orden y la recepción del pedido, se conoce y es constante.

· No se admiten faltantes.

· Costo de mantener guardado el inventario.

· Costo de pedir.

· Los costos son constantes.

· La reposición del inventario es instantánea. En otras palabras, el inventario de una orden llega en un lote el mismo momento.

· Los descuentos por cantidad no son posibles.

· Los únicos costos variables son el costo de preparación o de colocación de una orden (costos de preparación) y el costo del manejo o almacenamiento del inventario a través del tiempo (costo de manejo).

La grafica más representativa se muestra a continuación, aquí se describe el comportamiento de los niveles de inventario, el cual resulta al comenzar en el tiempo 0 si se produce u ordena un lote de Q unidades, con el fin de aumentar el inventario inicial de 0 a Q y repetir el proceso cada vez que el inventario desciende a 0.

La ecuación correspondiente a este modelo la cual nos presenta el costo de adquirir las cantidades solicitadas en un pedido es:

Para este modelo tenemos que el número de ordenes pedidas (N), es igual a la demanda (D), sobre la cantidad (Q) de productos requeridos en cada uno de los pedidos anualmente.

Y también podemos decir que el tiempo (t) esperado por cada orden, es igual a la cantidad (Q) de productos requeridos en cada uno de los pedidos, sobre la demanda (D) requerida por el mercado anualmente.

Con este modelo lo que buscamos es obtener el costo total anual que se requiere para adquirir las cantidades anuales requeridas por el mercado. Es por esto que multiplicamos la ecuación de costo por pedido C (Q), por el número de órdenes pedidas anuales (N). Con esto tenemos:

Simplificando la ecuación y dejando sus componentes en términos de Q, tenemos:

Como sabemos si nuestra cantidad de productos pedidos es muy baja, el costo de adquisición de estos es elevado, y si la cantidad es muy elevada, nuestro costo de adquisición baja pero el costo de mantener el inventario se eleva. Debido a esto debemos tener una cantidad óptima de pedido en donde nuestro costo de adquisición sea igual al costo de mantener el inventario. Es por esto que buscamos el costo total mínimo (Q*) por unidad de tiempo (t), que es la derivada de CTA (Q) con respecto a Q, igualada a cero.

Ahora igualamos a cero y despejamos Q:

EJERCICIO

Teniendo los siguientes datos, hallar la cantidad óptima a pedir.

D= 6000 Cd/año

Cp= 60 $/u

Cmi= 20%

Cu=100

Procedemos a hallar Q, con la ecuación obtenida:

MODELO EOQ (Con faltante)

Es normal que ocurran pequeños faltantes cuando por ahorrar dinero en el tiempo de preparación se pida un lote que no alcance para cubrir todo el ciclo.

Sin embargo también existirá un costo asociado a los faltantes, que llevará a que estos no sean excesivos.

Este modelo aplica cuando:

· Los clientes aceptan retrasos.

· Se conoce la tasa de demanda (a).

· La cantidad ordenada Q llega toda cuando se desea.

· Se permiten faltantes planeados. Cuando hay faltantes, los clientes afectados esperan que el producto esté disponible de nuevo. Las ordenes se satisfacen cuando se reabastece el inventario.

La ecuación más representativa de este modelo es:

De aquí obtenemos la siguiente ecuación, en donde se involucran el costo por pedir, el costo por unidad, el costo de mantener el inventario y adicionalmente el costo por faltante.

Donde:

Por relación de triángulos que tenemos en la grafica, podemos asegurar que:

Reemplazando estos valores en la ecuación original, tenemos:

Como ya sabemos, para obtener el costo anual debemos multiplicar esta ecuación por N, y luego hallar su derivada para tener el costo mínimo, vemos que hay dos variables que son Q y S entonces derivamos parcialmente la ecuación: